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★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題$T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}$，$b_n=T_n-2\sqrt{n}$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $2\sqrt{n+1}-2<T_n\leqq 2\sqrt{n}-1$ を示し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{\sqrt{n}}$ を求めよ． \item[(2)] 数列 $\{b_n\}$ は減少数列で，$b_n>-2$ であることを示し，$\{b_n\}$ が収束することを示せ．ただし，下に有界な減少数列は収束することを用いてよい． \end{enumerate} -
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$，$a_n=S_n-\log n$ とする．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\log(n+1)<S_n\leqq 1+\log n$ を示し，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{\log n}$ を求めよ． \item[(2)] 数列 $\{a_n\}$ は減少数列であり，$a_n>0$ であることを示せ． \item[(3)] 数列 $\{a_n\}$ は収束することを示せ．ただし，下に有界な減少数列は収束することを用いてよい． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題無限級数 $1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+\cdots$ の和を求めよ．ただし，$\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}$ を用いてよい． -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題\begin{enumerate} \item[(1)] $n$ を自然数とする．$0\leqq x\leqq 1$ のとき，次の等式を示せ． \[ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^{n-1}x^{n-1}+\frac{(-1)^nx^n}{1+x} \] \item[(2)] 無限級数 $1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}+\cdots$ の和を求めよ．ただし，対数は自然対数とする． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題\begin{enumerate} \item[(1)] 区間 $[a,\,b]$ で連続な関数 $f(x)$，$g(x)$ について，シュワルツの不等式 \[ \left(\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right)^2\leqq\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx \] を証明せよ． \item[(2)] 区間 $[0,\,1]$ で連続で，つねに正の値をとる関数 $h(x)$ について，$\displaystyle\int_0^1h(x)\,dx\int_0^1\frac{dx}{h(x)}\geqq 1$ を示せ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題\begin{enumerate} \item[(1)] 関数 $f(x)$，$g(x)$ は区間 $[a,\,b]$ で連続とする．すべての実数 $t$ について $\displaystyle\int_a^b\{tf(x)+g(x)\}^2dx\geqq 0$ であることを用いて，次の不等式を証明せよ． \[ \left(\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right)^2\leqq\int_a^b\{f(x)\}^2dx\int_a^b\{g(x)\}^2dx \] \item[(2)] (1) を用いて，$\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx\leqq\frac{2}{\sqrt{3}}$ を示せ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題次の極限を求めよ．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x\sqrt{4+\sin t}\,dt$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\log(1+2t^2)\,dt$ \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^xe^{t^2}\,dt$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\sin t^2\,dt$ \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題$I_n=\displaystyle\int_1^e(\log x)^n\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする．ただし，対数は自然対数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$ を示せ． \item[(2)] $0\leqq I_n\leqq e-1$ を用いて，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=0$ を示せ． \item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nI_n$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26
積分法の発展問題$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $I_n+I_{n+2}=\dfrac{1}{n+1}$ および $I_{n+2}<I_n$ を示せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nI_n$ を求めよ． \end{enumerate}