数学Ⅲ 置換積分法・部分積分法（不定積分）の問題 14件

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  • 部分積分で不定積分の漸化式を作る（B）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    $n$ を 0 以上の整数とし，$I_n=\displaystyle\int x^ne^x\,dx$ とする（ただし $I_0=e^x$ とし，積分定数は省略する）． \begin{enumerate} \item[(1)] $n\geqq 1$ のとき，$I_n=x^ne^x-nI_{n-1}$ が成り立つことを示せ． \item[(2)] $I_3$ を求めよ． \end{enumerate}
  • 部分積分で不定積分の漸化式を作る（A）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    $n$ を 0 以上の整数とし，$I_n=\displaystyle\int(\log x)^n\,dx$ とする（ただし $I_0=x$ とし，積分定数は省略する）． \begin{enumerate} \item[(1)] $n\geqq 1$ のとき，$I_n=x(\log x)^n-nI_{n-1}$ が成り立つことを示せ． \item[(2)] $I_3$ を求めよ． \end{enumerate}
  • 部分積分をくり返すともとの積分が現れる型（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int e^{-x}\cos 2x\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\sin(\log x)\,dx$ \end{enumerate}
  • 部分積分をくり返すともとの積分が現れる型（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    $I=\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$，$J=\displaystyle\int e^x\cos x\,dx$ を求めよ．
  • 部分積分を2回使う積分（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int x^2e^{-x}\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int x^2\sin x\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int x(\log x)^2\,dx$ \end{enumerate}
  • 部分積分を2回使う積分（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int x^2e^x\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int(\log x)^2\,dx$ \end{enumerate}
  • x·eˣ, x·cosx の部分積分（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int xe^{-2x}\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int x\sin 2x\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int\log(x+1)\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int x^2\log x\,dx$ \end{enumerate}
  • x·eˣ, x·cosx の部分積分（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int xe^x\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int x\cos x\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int\log x\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int x\log x\,dx$ \end{enumerate}
  • g′(x) を見つけてまとめる置換積分（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int x^2e^{x^3}\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\frac{\cos x}{\sin x+2}\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int\frac{e^x}{e^x+1}\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int\tan x\,dx$ \item[(5)] $\displaystyle\int\frac{dx}{x\log x}$ \end{enumerate}
  • g′(x) を見つけてまとめる置換積分（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int xe^{x^2}\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\sin^3x\cos x\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int\frac{\log x}{x}\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int\frac{2x}{x^2+1}\,dx$ \item[(5)] $\displaystyle\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$ \end{enumerate}
  • 1次式を t とおく置換積分（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int\frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\frac{x}{(x+1)^2}\,dx$ \end{enumerate}
  • 1次式を t とおく置換積分（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int x(2x-1)^4\,dx$ \end{enumerate}
  • 1次式を代入した関数の不定積分（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int(1-2x)^3\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\frac{dx}{(3x+2)^2}$ \item[(3)] $\displaystyle\int e^{\frac{x}{2}}\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int\cos(2x-1)\,dx$ \item[(5)] $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{2x+3}}$ \end{enumerate}
  • 1次式を代入した関数の不定積分（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    置換積分法・部分積分法（不定積分）
    次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int(3x+1)^4\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\frac{dx}{2x-1}$ \item[(3)] $\displaystyle\int e^{-2x+1}\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)dx$ \item[(5)] $\displaystyle\int\sqrt{4x+1}\,dx$ \end{enumerate}