数学Ⅲ 不定積分の基本の問題 6件

微分可能な関数 $f(x)$ が $f'(x)=e^{|x|}$，$f(0)=0$ を満たすとき，$f(x)$ を求めよ．

微分可能な関数 $f(x)$ が $f'(x)=|x-1|$，$f(0)=0$ を満たすとき，$f(x)$ を求めよ．

\begin{enumerate} \item[(1)] $f'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}$，$f(1)=3$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ． \item[(2)] 点 $\left(\dfrac{\pi}{2},\,0\right)$ を通り，曲線上の各点 $(x,\,y)$ における接線の傾きが $\cos^2x$ である曲線の方程式を求めよ． \end{enumerate}

\begin{enumerate} \item[(1)] $f'(x)=\dfrac{1}{x}+e^x\ (x>0)$，$f(1)=e$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ． \item[(2)] 点 $(0,\,1)$ を通り，曲線上の各点 $(x,\,y)$ における接線の傾きが $\sin x+\cos x$ である曲線の方程式を求めよ． \end{enumerate}

次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int\frac{(x+1)^2}{x}\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt[3]{x}}$ \item[(3)] $\displaystyle\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-\sin x\right)dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int 3^x\,dx$ \item[(5)] $\displaystyle\int\frac{dx}{\tan^2x}$ \end{enumerate}

次の不定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int\left(3x^2-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int\sqrt{x}(x-1)\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int(2\sin x-3\cos x)\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int(e^x+2^x)\,dx$ \item[(5)] $\displaystyle\int\tan^2x\,dx$ \end{enumerate}