数学Ⅲ 極限を含む発展問題 6件

\begin{enumerate} \item[(1)] $x>0$ のとき，$x-\dfrac{x^3}{6}<\sin x<x$ を示せ． \item[(2)] (1) を用いて，$\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{x-\sin x}{x^2}$ を求めよ． \end{enumerate}

\begin{enumerate} \item[(1)] $x>0$ のとき，$x-\dfrac{x^2}{2}<\log(1+x)<x$ を示せ． \item[(2)] (1) を用いて，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$ を求めよ．また，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ であることを確かめよ． \end{enumerate}

関数 $f(x)=e^{-x}\cos x\ (x>0)$ が極値をとる $x$ の値を小さい順に $x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $x_n$ と $f(x_n)$ を $n$ の式で表せ． \item[(2)] $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}f(x_n)$ を求めよ． \end{enumerate}

関数 $f(x)=e^{-x}\sin x\ (x\geqq 0)$ が極値をとる $x$ の値を小さい順に $x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $x_n$ と $f(x_n)$ を $n$ の式で表せ． \item[(2)] $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}|f(x_n)|$ を求めよ． \end{enumerate}

放物線 $y=\dfrac{x^2}{2}$ 上の 2 点 $\mathrm{P}\left(t,\,\dfrac{t^2}{2}\right)$，$\mathrm{Q}\left(t+h,\,\dfrac{(t+h)^2}{2}\right)$ における法線の交点を R とする（$t\neq 0$，$h\neq 0$，$t+h\neq 0$）．$h\to 0$ のとき，R が近づく点の座標を求めよ．

曲線 $y=e^x$ 上の 2 点 $\mathrm{P}(a,\,e^a)$，$\mathrm{Q}(a+h,\,e^{a+h})\ (h\neq 0)$ における接線の交点の $x$ 座標を $X(h)$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $X(h)-a$ を $h$ の式で表せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{X(h)-a}{h}$ を求めよ．ただし，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$，$\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^h-1-h}{h^2}=\frac{1}{2}$ を用いてよい． \end{enumerate}