数学Ⅲ 方程式・不等式への応用の問題 14件

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  • y 軸上の点を通る接線の本数を接点で数える（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $y$ 軸上の点 $(0,\,a)$ から曲線 $y=xe^{x}$ に引ける接線の本数を調べよ．ただし，$\displaystyle\lim_{t\to -\infty}t^2e^{t}=0$ を用いてよい．
  • y 軸上の点を通る接線の本数を接点で数える（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $y$ 軸上の点 $(0,\,a)$ から曲線 $y=xe^{-x}$ に引ける接線の本数を調べよ．ただし，$\displaystyle\lim_{t\to\infty}t^2e^{-t}=0$ を用いてよい．
  • 定数を分離して指数関数を含む方程式の解の個数（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $k$ は定数とする．方程式 $x^2=ke^x$ の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}=0$ を用いてよい．
  • 定数を分離して指数関数を含む方程式の解の個数（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $k$ は定数とする．方程式 $x=ke^x$ の異なる実数解の個数を調べよ．ただし，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ を用いてよい．
  • すべての正の x で不等式が成り立つ定数の範囲（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    すべての正の数 $x$ に対して不等式 $x^2\geqq a\log x$ が成り立つような，定数 $a$ の値の範囲を求めよ．ただし，対数は自然対数とする．
  • すべての正の x で不等式が成り立つ定数の範囲（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    すべての正の数 $x$ に対して不等式 $e^x\geqq ax$ が成り立つような，定数 $a$ の値の範囲を求めよ．
  • 対数平均の不等式（B）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $0<a<b$ のとき，次の不等式を証明せよ．ただし，対数は自然対数とする． \[ \frac{b-a}{\log b-\log a}<\frac{a+b}{2} \]
  • 対数平均の不等式（A）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $0<a<b$ のとき，次の不等式を証明せよ．ただし，対数は自然対数とする． \[ \sqrt{ab}<\frac{b-a}{\log b-\log a} \]
  • 2文字の不等式を1変数の関数の増減で示す（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    \begin{enumerate} \item[(1)] 関数 $f(x)=\dfrac{\log x}{x^2}$ は $x\geqq\sqrt{e}$ で減少することを示せ． \item[(2)] $\sqrt{e}\leqq a<b$ のとき，$a^{b^2}>b^{a^2}$ が成り立つことを示せ． \item[(3)] $e^{\pi^2}$ と $\pi^{e^2}$ の大小を比較せよ． \end{enumerate}
  • 2文字の不等式を1変数の関数の増減で示す（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    \begin{enumerate} \item[(1)] 関数 $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ は $x\geqq e$ で減少することを示せ． \item[(2)] $e\leqq a<b$ のとき，$a^b>b^a$ が成り立つことを示せ． \item[(3)] $e^\pi$ と $\pi^e$ の大小を比較せよ． \end{enumerate}
  • 前問の不等式を使って極限・不等式を示す（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    \begin{enumerate} \item[(1)] $x>0$ のとき，$\sqrt{x}>\log x$ が成り立つことを示せ． \item[(2)] (1) を利用して，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0$ を示せ． \end{enumerate} ただし，対数は自然対数とし，$\log 2<1$ を用いてよい．
  • 前問の不等式を使って極限・不等式を示す（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    \begin{enumerate} \item[(1)] $x>0$ のとき，$e^x>\dfrac{x^2}{2}$ が成り立つことを示せ． \item[(2)] (1) を利用して，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x}=0$ を示せ． \end{enumerate}
  • 差をとった関数の増減で不等式を証明する（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $x>0$ のとき，不等式 $\log(1+x)>x-\dfrac{x^2}{2}$ が成り立つことを証明せよ．ただし，対数は自然対数とする．
  • 差をとった関数の増減で不等式を証明する（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    方程式・不等式への応用
    $x>0$ のとき，不等式 $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ が成り立つことを証明せよ．