数学Ⅲ 導関数の発展問題 6件

微分可能な関数 $f(x)$ が，すべての実数 $x$，$y$ について $f(x+y)=f(x)f(y)$ を満たし，$f(0)\neq 0$，$f'(0)=2$ であるとする． \begin{enumerate} \item[(1)] $f(0)$ を求めよ． \item[(2)] $f'(x)=2f(x)$ が成り立つことを示せ． \item[(3)] $g(x)=e^{-2x}f(x)$ とおく．$g'(x)$ を計算することにより，$f(x)$ を求めよ． \end{enumerate}

微分可能な関数 $f(x)$ が，すべての実数 $x$，$y$ について \[ f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy \] を満たし，$f'(0)=3$ であるとする． \begin{enumerate} \item[(1)] $f(0)$ を求めよ． \item[(2)] $f'(x)$ を求め，$f(x)$ を求めよ． \end{enumerate}

微分係数の定義を利用して，次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to e}\frac{\log x-1}{x-e}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x-1}{x-\dfrac{\pi}{4}}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{2^x-1}{x}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{10}-1}{x-1}$ \end{enumerate}

微分係数の定義を利用して，次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{3}}\frac{\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{x-\dfrac{\pi}{3}}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\log x}{x-1}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{\sin x}-1}{x}$ \end{enumerate}

関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする．次の極限を $a$，$f(a)$，$f'(a)$ を用いて表せ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{xf(a)-af(x)}{x-a}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h}$ \end{enumerate}

関数 $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるとする．次の極限を $a$，$f(a)$，$f'(a)$ を用いて表せ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+3h)-f(a)}{h}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$ \end{enumerate}