数学Ⅲ 関数の極限の問題 18件

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  • 図形の長さ・面積と sinθ/θ の極限（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    $n$ は 3 以上の整数とする．半径 $r$ の円に内接する正 $n$ 角形の周の長さを $L_n$，面積を $S_n$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $L_n$，$S_n$ を $r$，$n$ を用いて表せ． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}L_n$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ を求めよ． \end{enumerate}
  • 図形の長さ・面積と sinθ/θ の極限（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    半径 1，中心角 $\theta\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\right)$ の扇形 OAB がある．点 B から半径 OA に垂線 BH を下ろす（下図）． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\frac{\mathrm{BH}}{\widehat{\mathrm{AB}}}$ を求めよ．ただし，$\widehat{\mathrm{AB}}$ は弧 AB の長さを表す． \item[(2)] $\displaystyle\lim_{\theta\to +0}\frac{\mathrm{AH}}{(\widehat{\mathrm{AB}})^2}$ を求めよ． \end{enumerate}
    図
  • 置き換えてから sinx/x を使う極限（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\sin\pi x}{x-1}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^2\left(1-\cos\frac{1}{x}\right)$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}\frac{\sin x-\cos x}{x-\frac{\pi}{4}}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x\sin x}$ \end{enumerate}
  • 置き換えてから sinx/x を使う極限（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{\sin x}{x-\pi}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x-\sin x}{x}$ \end{enumerate}
  • sinx/x→1 を使う極限（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin\frac{x}{3}}{x}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{1-\cos x}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos 2x}{x^2}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{x\tan x}$ \end{enumerate}
  • sinx/x→1 を使う極限（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\tan 2x}{x}$ \end{enumerate}
  • はさみうちによる関数の極限（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ．ただし，$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\cos\frac{1}{x}$ \end{enumerate}
  • はさみうちによる関数の極限（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$ \end{enumerate}
  • 指数関数・対数関数を含む極限（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2^{x+1}+1}{2^x-1}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2^{x+1}+1}{2^x-1}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_2\frac{4x+1}{x+3}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to +0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$，$\displaystyle\lim_{x\to -0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$ \end{enumerate}
  • 指数関数・対数関数を含む極限（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3^x-2^x}{3^x+2^x}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{3^x-2^x}{3^x+2^x}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{\log_2(x+1)-\log_2 x\}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{\log_3(9x^2+1)-2\log_3 x\}$ \end{enumerate}
  • x→∞ での多項式・無理式の極限（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{3x+1}{\sqrt{x^2+1}}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}+x\right)$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-x^3)$ \end{enumerate}
  • x→∞ での多項式・無理式の極限（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+3x}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(x^3+2x)$ \end{enumerate}
  • 右側極限と左側極限（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を調べよ．ただし，$[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to -2+0}\frac{x}{x+2}$，$\displaystyle\lim_{x\to -2-0}\frac{x}{x+2}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 3+0}[x]$，$\displaystyle\lim_{x\to 3-0}[x]$．また，$\displaystyle\lim_{x\to 3}[x]$ は存在するか． \end{enumerate}
  • 右側極限と左側極限（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を調べよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 1+0}\frac{1}{x-1}$，$\displaystyle\lim_{x\to 1-0}\frac{1}{x-1}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{|x|}{x}$，$\displaystyle\lim_{x\to -0}\frac{|x|}{x}$．また，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}$ は存在するか． \end{enumerate}
  • 関数の極限が有限になる係数の決定（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    等式 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt{x+3}-b}{x-1}=\frac{1}{2}$ が成り立つように，定数 $a$，$b$ の値を定めよ．
  • 関数の極限が有限になる係数の決定（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    等式 $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=5$ が成り立つように，定数 $a$，$b$ の値を定めよ．
  • 約分・有理化で求める関数の極限（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x^2-1}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^3-8}{x-2}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ \end{enumerate}
  • 約分・有理化で求める関数の極限（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/26

    関数の極限
    次の極限を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$ \item[(2)] $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$ \item[(3)] $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$ \item[(4)] $\displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{1}{x-3}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right)$ \end{enumerate}