数学B 数学的帰納法の問題 14件

🆕 新着順 ⭐ お気に入り数順
  • n≦k のすべてを仮定する数学的帰納法（B）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    正の数からなる数列 $\{a_n\}$ が，すべての自然数 $n$ について \[ (a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^{\,3}+a_2^{\,3}+\cdots+a_n^{\,3} \] を満たすとき，$a_n=n$ であることを証明せよ．
  • n≦k のすべてを仮定する数学的帰納法（A）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    $8$ 以上のすべての自然数 $n$ は，0 以上の整数 $a$，$b$ を用いて $n=3a+5b$ と表されることを証明せよ．
  • n=k, k+1 を仮定する数学的帰納法（B）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    $a_1=1,\ a_2=2,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について，すべての自然数 $n$ で \[ a_n\leqq\left(\frac{5}{3}\right)^n \] が成り立つことを証明せよ．
  • n=k, k+1 を仮定する数学的帰納法（A）

    ★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    2 次方程式 $x^2-3x+1=0$ の 2 つの解を $\alpha$，$\beta$ とする．すべての自然数 $n$ について，$\alpha^n+\beta^n$ は整数であることを証明せよ．
  • ₚCᵣ の性質と nᵖ−n の倍数性（B）

    ★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    すべての自然数 $n$ について，$n^5-n$ は $30$ の倍数であることを証明せよ．
  • ₚCᵣ の性質と nᵖ−n の倍数性（A）

    ★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    $p$ を素数とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $1\leqq r\leqq p-1$ のとき，二項係数 ${}_p\mathrm{C}_r$ は $p$ の倍数であることを示せ． \item[(2)] すべての自然数 $n$ について，$n^p-n$ は $p$ の倍数であることを数学的帰納法によって証明せよ． \end{enumerate}
  • 一般項を推測して帰納法で証明する（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    $a_1=3,\quad a_{n+1}=a_n^{\,2}-2na_n+2$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $a_2$，$a_3$，$a_4$ を求め，一般項 $a_n$ を推測せよ． \item[(2)] (1) の推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ． \end{enumerate}
  • 一般項を推測して帰納法で証明する（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    $a_1=\dfrac{1}{2},\quad a_{n+1}=\dfrac{1}{2-a_n}$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ について \begin{enumerate} \item[(1)] $a_2$，$a_3$，$a_4$ を求め，一般項 $a_n$ を推測せよ． \item[(2)] (1) の推測が正しいことを数学的帰納法によって証明せよ． \end{enumerate}
  • 帰納法で不等式を証明する（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    すべての自然数 $n$ について，次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ． \[ 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\leqq 2-\frac{1}{n} \]
  • 帰納法で不等式を証明する（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    $n$ が $5$ 以上の自然数のとき，不等式 $2^n>n^2$ が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ．
  • 帰納法で倍数であることを証明する（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    すべての自然数 $n$ について，$4^n+6n-1$ は $9$ の倍数であることを数学的帰納法によって証明せよ．
  • 帰納法で倍数であることを証明する（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    すべての自然数 $n$ について，$3^{2n}-1$ は $8$ の倍数であることを数学的帰納法によって証明せよ．
  • 帰納法で和の公式を証明する（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    すべての自然数 $n$ について，次の等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ． \[ 1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 \quad\cdots\text{①} \]
  • 帰納法で和の公式を証明する（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    数学的帰納法
    すべての自然数 $n$ について，次の等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ． \[ 1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots+n(n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \quad\cdots\text{①} \]