数学Ⅱ 定積分の問題 14件

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  • 定積分が a, b によらず0になる条件（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    すべての実数 $k$ に対して \[ \int_0^1(x^2+ax+b)(x+k)\,dx=0 \] が成り立つように，定数 $a,\ b$ の値を定めよ．
  • 定積分が a, b によらず0になる条件（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    すべての実数 $a,\ b$ に対して \[ \int_{-1}^{1}(ax+b)(x^2+px+q)\,dx=0 \] が成り立つように，定数 $p,\ q$ の値を定めよ．
  • ∫₀ˣ で定義された関数の極値（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    関数 $f(x)=\displaystyle\int_{-1}^{x}(t^2+t-2)\,dt$ の極値を求めよ．
  • ∫₀ˣ で定義された関数の極値（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    関数 $f(x)=\displaystyle\int_0^x(t^2-4t+3)\,dt$ の極値を求めよ．
  • 上端が x の定積分を微分する（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    \begin{enumerate} \item[(1)] $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_x^2(t^3-t)\,dt$ を求めよ． \item[(2)] 等式 $\displaystyle\int_1^x f(t)\,dt=x^3-2x^2+ax+1$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ． \end{enumerate}
  • 上端が x の定積分を微分する（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    \begin{enumerate} \item[(1)] $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_1^x(t^2-3t+2)\,dt$ を求めよ． \item[(2)] 等式 $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=x^2-3x+2$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めよ． \end{enumerate}
  • 定積分を定数とおいて関数を決める（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ． \[ f(x)=2x+\int_0^1(x+t)f(t)\,dt \]
  • 定積分を定数とおいて関数を決める（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    次の等式を満たす関数 $f(x)$ を求めよ． \[ f(x)=3x^2-2x+\int_0^2 f(t)\,dt \]
  • (x−α)(x−β) の定積分（1/6 公式）（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    次の定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int_{1}^{4}(x-1)(x-4)\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int_{-2}^{3}(x^2-x-6)\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int_\alpha^\beta(x^2+x-1)\,dx$ \quad（ただし $\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$ は $x^2+x-1=0$ の 2 つの解） \end{enumerate}
  • (x−α)(x−β) の定積分（1/6 公式）（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    \begin{enumerate} \item[(1)] 等式 $\displaystyle\int_\alpha^\beta(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ を証明せよ． \item[(2)] $\displaystyle\int_{-1}^{3}(x+1)(x-3)\,dx$ を求めよ． \item[(3)] $\alpha,\ \beta\ (\alpha<\beta)$ を 2 次方程式 $x^2-2x-1=0$ の 2 つの解とするとき，$\displaystyle\int_\alpha^\beta(x^2-2x-1)\,dx$ を求めよ． \end{enumerate}
  • 偶関数・奇関数を使った定積分（B）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    次の定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int_{-3}^{3}(2x^3-x^2+5x-4)\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x+1)^3\,dx$ \end{enumerate}
  • 偶関数・奇関数を使った定積分（A）

    ★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    次の定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3+3x^2-2x+1)\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^5-4x^3+6x^2+x)\,dx$ \end{enumerate}
  • 多項式の定積分（B）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    次の定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int_0^2(x^2-4x+3)\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int_{-2}^{1}(x^3-3x)\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int_1^3(x-1)(x-3)\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int_0^2(x^2-x)\,dx-\int_3^2(x^2-x)\,dx$ \end{enumerate}
  • 多項式の定積分（A）

    ★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/24

    定積分
    次の定積分を求めよ． \begin{enumerate} \item[(1)] $\displaystyle\int_1^3(x^2-2x)\,dx$ \item[(2)] $\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2+2x-1)\,dx$ \item[(3)] $\displaystyle\int_0^1(2x+1)^2\,dx$ \item[(4)] $\displaystyle\int_1^2(x^2+1)\,dx+\int_2^3(x^2+1)\,dx$ \end{enumerate}