数学A チェバの定理・メネラウスの定理の問題 8件

$\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{P}$，辺 $\mathrm{BC}$ を $3:2$ に内分する点を $\mathrm{Q}$，辺 $\mathrm{CA}$ の $\mathrm{C}$ の側の延長上に $\mathrm{CR}:\mathrm{RA}=1:3$ となる点 $\mathrm{R}$ をとる．3 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ は一直線上にあることを示せ．

$\triangle\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ 上にそれぞれ点 $\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$ を，$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=2:3$，$\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=1:2$，$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=3:1$ となるようにとる．3 直線 $\mathrm{AD}$，$\mathrm{BE}$，$\mathrm{CF}$ は 1 点で交わることを示せ．

面積が 60 の $\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{CA}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．このとき $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=3:1$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=3:1$ である． \begin{enumerate} \item[(1)] $\triangle\mathrm{ABP}$，$\triangle\mathrm{BPD}$ の面積を求めよ． \item[(2)] 四角形 $\mathrm{PDCE}$ の面積を求めよ． \end{enumerate}

面積が 60 の $\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{CA}$ の中点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ を求めよ． \item[(2)] $\triangle\mathrm{ABP}$，$\triangle\mathrm{PDC}$ の面積を求めよ． \end{enumerate}

$\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{CA}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ と $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}$ を求めよ．

$\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{CA}$ の中点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$ と $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}$ を求めよ．

$\triangle\mathrm{ABC}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$，辺 $\mathrm{CA}$ の中点を $\mathrm{R}$ とし，直線 $\mathrm{PR}$ と辺 $\mathrm{BC}$ の延長との交点を $\mathrm{Q}$ とする．$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$ と $\mathrm{BC}:\mathrm{CQ}$ を求めよ．

$\triangle\mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm{O}$ を通る直線 $\mathrm{AO}$，$\mathrm{BO}$，$\mathrm{CO}$ が，辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ とそれぞれ点 $\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{P}$ で交わっている．$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=2:3$，$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}=3:4$ のとき，$\mathrm{CR}:\mathrm{RA}$ を求めよ．