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★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{OB}$ の中点を $\mathrm{E}$，辺 $\mathrm{OC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{F}$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$ とし，直線 $\mathrm{OG}$ と平面 $\mathrm{DEF}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ で表せ．また，$\mathrm{OP}:\mathrm{PG}$ を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{OA}$ の中点を $\mathrm{P}$，辺 $\mathrm{BC}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{Q}$，線分 $\mathrm{PQ}$ の中点を $\mathrm{R}$ とする．直線 $\mathrm{OR}$ と平面 $\mathrm{ABC}$ の交点を $\mathrm{S}$ とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ で表せ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形平行六面体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ において，辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CG}$，$\mathrm{EA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ とする．4 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ は同じ平面上にあることを証明せよ． -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CO}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ とする．4 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ は同じ平面上にあることを証明せよ．
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★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形4 点 $\mathrm{A}(1,\,1,\,0)$，$\mathrm{B}(2,\,0,\,1)$，$\mathrm{C}(0,\,1,\,2)$，$\mathrm{D}(a,\,2,\,3)$ が同じ平面上にあるとき，$a$ の値を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形4 点 $\mathrm{A}(1,\,0,\,0)$，$\mathrm{B}(0,\,2,\,0)$，$\mathrm{C}(0,\,0,\,3)$，$\mathrm{P}(x,\,1,\,1)$ が同じ平面上にあるとき，$x$ の値を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{CD}$ と線分 $\mathrm{AE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{BC}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{D}$，辺 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{E}$ とし，線分 $\mathrm{AD}$ と線分 $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ で表せ．
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形2 点 $\mathrm{C}(0,\,1,\,-1)$，$\mathrm{D}(4,\,3,\,-5)$ を通る直線を $m$ とし，点 $\mathrm{P}(3,\,4,\,-1)$ をとる． \begin{enumerate} \item[(1)] $\mathrm{P}$ から $m$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標と，線分 $\mathrm{PH}$ の長さを求めよ． \item[(2)] 直線 $m$ に関して $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{P'}$ の座標を求めよ． \item[(3)] $\triangle\mathrm{PCD}$ の面積を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形2 点 $\mathrm{A}(1,\,1,\,0)$，$\mathrm{B}(2,\,3,\,2)$ を通る直線を $\ell$ とし，点 $\mathrm{P}(1,\,4,\,6)$ をとる． \begin{enumerate} \item[(1)] $\mathrm{P}$ から $\ell$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標を求めよ． \item[(2)] 点 $\mathrm{P}$ と直線 $\ell$ の距離を求めよ． \item[(3)] 直線 $\ell$ に関して $\mathrm{P}$ と対称な点 $\mathrm{P'}$ の座標を求めよ． \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形平行六面体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$，辺 $\mathrm{HG}$ の中点を $\mathrm{N}$，対角線 $\mathrm{AG}$ の中点を $\mathrm{K}$ とする．3 点 $\mathrm{M}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{N}$ は一直線上にあることを証明し，$\mathrm{MK}:\mathrm{KN}$ を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形2 点 $\mathrm{A}(1,\,2,\,3)$，$\mathrm{B}(3,\,4,\,-1)$ を通る直線を $\ell$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] $\ell$ と $xy$ 平面の交点の座標を求めよ． \item[(2)] $\ell$ と $yz$ 平面の交点の座標を求めよ． \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に内分する点を $\mathrm{P}$，$\triangle\mathrm{OBC}$ の重心を $\mathrm{Q}$，$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$，線分 $\mathrm{OG}$ の中点を $\mathrm{R}$ とする．3 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{Q}$ は一直線上にあることを証明し，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$ を求めよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{ABCD}$ の辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ とする．四角形 $\mathrm{PQRS}$ は平行四辺形であることを証明せよ．
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{OABC}$ において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\angle\mathrm{AOB}=\angle\mathrm{AOC}=60^\circ$，$\angle\mathrm{BOC}=90^\circ$ とする．$\triangle\mathrm{ABC}$ の重心を $\mathrm{G}$ とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とする． \begin{enumerate} \item[(1)] 線分 $\mathrm{OG}$ の長さを求めよ． \item[(2)] $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$ のなす角を $\theta$ とするとき，$\cos\theta$ を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形1 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{OABC}$ において，辺 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$，辺 $\mathrm{OC}$ の中点を $\mathrm{N}$ とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{c}$ とするとき，次の問いに答えよ． \begin{enumerate} \item[(1)] 線分 $\mathrm{MN}$ の長さを求めよ． \item[(2)] $\cos\angle\mathrm{MON}$ の値を求めよ． \end{enumerate}
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★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{ABCD}$ と点 $\mathrm{P}$ が \[ 2\overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}+\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\vec{0} \] を満たしている． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{P}$ はどのような位置にあるか． \item[(2)] 四面体 $\mathrm{PBCD}$ と四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積比を求めよ． \end{enumerate} -
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{ABCD}$ と点 $\mathrm{P}$ が \[ \overrightarrow{\mathrm{PA}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PC}}+3\overrightarrow{\mathrm{PD}}=\vec{0} \] を満たしている． \begin{enumerate} \item[(1)] 点 $\mathrm{P}$ はどのような位置にあるか． \item[(2)] 四面体 $\mathrm{PBCD}$ と四面体 $\mathrm{ABCD}$ の体積比を求めよ． \end{enumerate} -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形平行六面体 $\mathrm{ABCD}\text{-}\mathrm{EFGH}$ の 4 本の対角線 $\mathrm{AG}$，$\mathrm{BH}$，$\mathrm{CE}$，$\mathrm{DF}$ は 1 点で交わることを，それぞれの中点が一致することを示して証明せよ． -
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ ⭐ 0 ／ shonan ／ 2026/10/27
空間の位置ベクトルと図形四面体 $\mathrm{ABCD}$ において，辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，辺 $\mathrm{AC}$，$\mathrm{BD}$ の中点をそれぞれ $\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$ とする．線分 $\mathrm{PQ}$ の中点と線分 $\mathrm{RS}$ の中点は一致することを証明せよ．