三角比を係数にもつ方程式の解の条件（B）

この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると \[ \frac{D}{4}=\sin^2\theta-\cos^2\theta=2\sin^2\theta-1 \] (1) $D=0$ より $\sin^2\theta=\dfrac{1}{2}$，$\sin\theta\geqq 0$ より $\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$．よって $\theta=45^\circ,\ 135^\circ$ 重解は $x=\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$（どちらの場合も） (2) $f(x)=x^2-2(\sin\theta)x+\cos^2\theta$ とおく．2 次方程式 $f(x)=0$ が異なる 2 つの正の解をもつことは，放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸の正の部分と異なる 2 点で交わることであり，次の (i)〜(iii) が同時に成り立つことと同値である． (i) $D>0$ より $\sin^2\theta>\dfrac{1}{2}$．$\sin\theta\geqq 0$ であるから $\sin\theta>\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，すなわち $45^\circ<\theta<135^\circ$ (ii) 軸 $x=\sin\theta>0$ は (i) の範囲で成り立つ． (iii) $f(0)=\cos^2\theta>0$ より $\theta\neq 90^\circ$ よって $45^\circ<\theta<90^\circ,\ 90^\circ<\theta<135^\circ$