三角比を係数にもつ方程式の解の条件（A）

$f(x)=x^2-2(\cos\theta)x+\sin^2\theta$ とおき，2 次方程式 $f(x)=0$ の判別式を $D$ とする．$f(x)=0$ が異なる 2 つの正の解をもつことは，放物線 $y=f(x)$ が $x$ 軸の正の部分と異なる 2 点で交わることであり，次の (i)〜(iii) が同時に成り立つことと同値である． (i) 判別式：$\dfrac{D}{4}=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta>0$ より $\sin^2\theta<\dfrac{1}{2}$，$0^\circ\leqq\theta\leqq 180^\circ$ より $\sin\theta\geqq 0$ であるから $0\leqq\sin\theta<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$． よって $0^\circ\leqq\theta<45^\circ,\ 135^\circ<\theta\leqq 180^\circ$ (ii) 軸 $x=\cos\theta>0$ より $0^\circ\leqq\theta<90^\circ$ (iii) $f(0)=\sin^2\theta>0$ より $\theta\neq 0^\circ,\ 180^\circ$ (i)〜(iii) の共通範囲を求めて $0^\circ<\theta<45^\circ$