区間内での2つの2次関数の大小（すべて・ある）（B）
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 区間内での2つの2次関数の大小（すべて・ある）（A） （★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH））
問題
$f(x)=x^2+2x+a$，$g(x)=-x^2+2x+3$ とする．次の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲をそれぞれ求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $-1\leqq x\leqq 2$ を満たすすべての $x$ について $f(x)\geqq g(x)$
\item[(2)] $-1\leqq x_1\leqq 2$，$-1\leqq x_2\leqq 2$ を満たすすべての $x_1$，$x_2$ について $f(x_1)\geqq g(x_2)$
\item[(3)] $-1\leqq x_1\leqq 2$ を満たすある $x_1$ が存在して，$-1\leqq x_2\leqq 2$ を満たすすべての $x_2$ について $f(x_1)\geqq g(x_2)$
\end{enumerate}
$-1\leqq x\leqq 2$ において
$f(x)=(x+1)^2+a-1$ は，最小値 $f(-1)=a-1$，最大値 $f(2)=a+8$
$g(x)=-(x-1)^2+4$ は，最大値 $g(1)=4$
(1) $h(x)=f(x)-g(x)=2x^2+a-3$ で，軸 $x=0$ は区間 $-1\leqq x\leqq 2$ に含まれるから，この区間における $h(x)$ の最小値は $h(0)=a-3$．よって $a-3\geqq 0$ より $a\geqq 3$
(2) （$f$ の最小値）$\geqq$（$g$ の最大値）であればよいから $a-1\geqq 4$，すなわち $a\geqq 5$
(3) $f(x_1)$ が $g$ の最大値以上となる $x_1$ があればよいから，（$f$ の最大値）$\geqq$（$g$ の最大値）より $a+8\geqq 4$，すなわち $a\geqq -4$
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