区間内での2つの2次関数の大小（すべて・ある）（A）
★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 区間内での2つの2次関数の大小（すべて・ある）（B） （★★★★☆☆☆（地方国立・MARCH））
問題
$f(x)=x^2-2x+a$，$g(x)=-x^2+4x-1$ とする．次の条件を満たす定数 $a$ の値の範囲をそれぞれ求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $0\leqq x\leqq 3$ を満たすすべての $x$ について $f(x)\geqq g(x)$
\item[(2)] $0\leqq x_1\leqq 3$，$0\leqq x_2\leqq 3$ を満たすすべての $x_1$，$x_2$ について $f(x_1)\geqq g(x_2)$
\item[(3)] $0\leqq x_1\leqq 3$，$0\leqq x_2\leqq 3$ を満たすある $x_1$，$x_2$ について $f(x_1)\geqq g(x_2)$
\end{enumerate}
$0\leqq x\leqq 3$ において
$f(x)=(x-1)^2+a-1$ は，最小値 $f(1)=a-1$，最大値 $f(3)=a+3$
$g(x)=-(x-2)^2+3$ は，最大値 $g(2)=3$，最小値 $g(0)=-1$
(1) $h(x)=f(x)-g(x)=2x^2-6x+a+1=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+a-\dfrac{7}{2}$
$\dfrac{3}{2}$ は区間 $0\leqq x\leqq 3$ に含まれるから，この区間における $h(x)$ の最小値は $h\left(\dfrac{3}{2}\right)=a-\dfrac{7}{2}$ であるから，$a-\dfrac{7}{2}\geqq 0$ より $a\geqq\dfrac{7}{2}$
(2) （$f$ の最小値）$\geqq$（$g$ の最大値）であればよいから $a-1\geqq 3$，すなわち $a\geqq 4$
(3) （$f$ の最大値）$\geqq$（$g$ の最小値）であればよいから $a+3\geqq -1$，すなわち $a\geqq -4$
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