2つの2次関数の大小関係が常に成り立つ条件（B）

$h(x)=f(x)-g(x)=2x^2+2(a-1)x+2$ とおく．$0\leqq x\leqq 2$ における $h(x)$ の最小値が $0$ 以上であればよい． \[ h(x)=2\left(x-\frac{1-a}{2}\right)^2+2-\frac{(a-1)^2}{2} \] 軸は $x=\dfrac{1-a}{2}$ (i) $\dfrac{1-a}{2}<0$ すなわち $a>1$ のとき，軸は区間の左外にあるから，最小値は $h(0)=2$ で，これは $0$ 以上であるから成り立つ． (ii) $0\leqq\dfrac{1-a}{2}\leqq 2$ すなわち $-3\leqq a\leqq 1$ のとき，軸は区間内にあるから，最小値は $h\left(\dfrac{1-a}{2}\right)=2-\dfrac{(a-1)^2}{2}$．これが $0$ 以上となるのは $(a-1)^2\leqq 4$，すなわち $-1\leqq a\leqq 3$．$-3\leqq a\leqq 1$ との共通範囲は $-1\leqq a\leqq 1$ (iii) $\dfrac{1-a}{2}>2$ すなわち $a<-3$ のとき，軸は区間の右外にあるから，最小値は $h(2)=4a+6$．$4a+6\geqq 0$ より $a\geqq -\dfrac{3}{2}$ となり，$a<-3$ を満たすものはない． (i)〜(iii) より，求める $a$ の値の範囲は，$a>1$ と $-1\leqq a\leqq 1$ を合わせて $a\geqq -1$