集合の包含・相等を証明する（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 集合の包含・相等を証明する（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $A=\{5m+3n \mid m,\ n \text{ は整数}\}$ とし，整数全体の集合を $Z$ とする．$A=Z$ であることを証明せよ．
\item[(2)] $C=\{6m+9n \mid m,\ n \text{ は整数}\}$，$D=\{3k \mid k \text{ は整数}\}$ とする．$C=D$ であることを証明せよ．
\end{enumerate}
(1) $m$，$n$ が整数のとき $5m+3n$ は整数であるから $A\subset Z$
逆に，任意の整数 $k$ について，$5\cdot 2+3\cdot(-3)=1$ であるから
\[ k=5\cdot 2k+3\cdot(-3k) \]
と表せる．$2k$，$-3k$ は整数であるから $k\in A$．よって $Z\subset A$
以上より $A=Z$
(2) $x\in C$ とすると $x=6m+9n=3(2m+3n)$ で，$2m+3n$ は整数であるから $x\in D$．よって $C\subset D$
$x\in D$ とすると，整数 $k$ を用いて $x=3k$ と表せる．$6\cdot(-1)+9\cdot 1=3$ であるから
\[ 3k=6\cdot(-k)+9\cdot k \]
であり，$-k$，$k$ は整数であるから $x\in C$．よって $D\subset C$
以上より $C=D$
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