r²=a²cos2θ の曲線を調べる（B）

(1) 両辺に $r^2$ を掛けて $r^4=4(r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta)$，よって \[ (x^2+y^2)^2=4(x^2-y^2) \] (2) $r^2=4\cos 2\theta\geqq 0$ のとき $y^2=r^2\sin^2\theta=4\cos 2\theta\sin^2\theta$．$s=\sin^2\theta$ とおくと $\cos 2\theta=1-2s$ で \[ y^2=4s(1-2s)=-8\left(s-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{2} \] $\cos 2\theta\geqq 0$ より $0\leqq s\leqq\dfrac{1}{2}$ であり，$s=\dfrac{1}{4}$ のとき $y^2$ は最大値 $\dfrac{1}{2}$ をとる． よって $y$ の最大値は $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$（$\sin^2\theta=\dfrac{1}{4}$，例えば $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ のとき，$r=\sqrt{2}$）