r²=a²cos2θ の曲線を調べる（A）

$\mathrm{P}$ の極座標を $(r,\,\theta)$ とすると，余弦定理より \[ \mathrm{PA}^2=r^2+1-2r\cos\theta,\qquad \mathrm{PB}^2=r^2+1+2r\cos\theta \] $\mathrm{PA}^2\cdot\mathrm{PB}^2=1$ であるから \[ (r^2+1)^2-4r^2\cos^2\theta=1 \quad\text{すなわち}\quad r^4+2r^2-4r^2\cos^2\theta=0 \] $r^2(r^2+2-4\cos^2\theta)=0$．$r=0$（原点）も条件を満たし，$r\neq 0$ のとき $r^2=4\cos^2\theta-2=2\cos 2\theta$ 原点は $r^2=2\cos 2\theta$ で $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ とすれば得られるから，求める極方程式は \[ r^2=2\cos 2\theta \]