焦点を通る弦の長さの逆数の和（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 焦点を通る弦の長さの逆数の和（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
極 $\mathrm{F}$ を焦点とする 2 次曲線 $r=\dfrac{l}{1-e\cos\theta}$（$l>0$，$0<e<1$）がある．$\mathrm{F}$ を通る直線がこの曲線と 2 点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ で交わるとき
\[ \frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}} \]
は直線によらず一定であることを証明せよ．
$\mathrm{P}$ の極座標を $(r_1,\,\theta)$ とすると，$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{F}$ に関して反対側にあるから，その偏角は $\theta+\pi$ である．よって
\[ \mathrm{FP}=\frac{l}{1-e\cos\theta},\qquad \mathrm{FQ}=\frac{l}{1-e\cos(\theta+\pi)}=\frac{l}{1+e\cos\theta} \]
したがって
\[ \frac{1}{\mathrm{FP}}+\frac{1}{\mathrm{FQ}}=\frac{1-e\cos\theta}{l}+\frac{1+e\cos\theta}{l}=\frac{2}{l} \]
これは $\theta$ によらない一定の値である． \hfill 終
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