離心率と焦点・準線から考える極方程式（B）

曲線上の点から焦点（極）までの距離と，準線までの距離の比の値が離心率 $e$ である． (1) $r+r\cos\theta=4$ より $r=4-x$ …… ① $r>0$ であるから，$\mathrm{OP}=r=4-x$ で，$4-x$ は点 $\mathrm{P}(x,\,y)$ から直線 $x=4$ までの距離である．よって，極までの距離と直線 $x=4$ までの距離の比は $1:1$ で，$e=1$ である． ① の両辺を 2 乗して $x^2+y^2=16-8x+x^2$ $y^2=-8(x-2)$ で，放物線である（この放物線上では $x\leqq 2$ であるから $4-x>0$ であり，① が成り立つ）． (2) $r-2r\cos\theta=3$ より $r=2x+3$ …… ② $\mathrm{OP}=|r|=2\left|x+\dfrac{3}{2}\right|$ で，$\left|x+\dfrac{3}{2}\right|$ は点 $\mathrm{P}(x,\,y)$ から直線 $x=-\dfrac{3}{2}$ までの距離である．よって，極までの距離と直線 $x=-\dfrac{3}{2}$ までの距離の比は $2:1$ で，$e=2$ である． ② の両辺を 2 乗して $x^2+y^2=4x^2+12x+9$ $3x^2+12x-y^2+9=0$ より $3(x+2)^2-y^2=3$，すなわち $(x+2)^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ で，双曲線である． なお，$1-2\cos\theta>0$ のとき $r=\dfrac{3}{1-2\cos\theta}\geqq 1$ で，② より $x=\dfrac{r-3}{2}\geqq -1$ の部分を表し，$1-2\cos\theta<0$ のとき $r\leqq -3$ で，$x\leqq -3$ の部分を表す（$r<0$ のとき，点 $(r,\,\theta)$ は点 $(|r|,\,\theta+\pi)$ を表す）．よって，この極方程式は双曲線全体を表す． （$\sqrt{1+3}=2$ より，双曲線の焦点は $(-2\pm 2,\,0)$ で，その一方が極 $(0,\,0)$ である．）