離心率と焦点・準線から考える極方程式（A）

(1) 曲線上の点 $\mathrm{P}(r,\,\theta)$ から準線 $x=-3$ までの距離は $|r\cos\theta+3|$ である．ここで，$\mathrm{P}$ が極 $\mathrm{O}$ と一致すると，$\mathrm{O}$ までの距離 0 と準線までの距離 3 の比が $1:2$ にならないから，$r>0$ である．離心率が $\dfrac{1}{2}$ であるから，$r=\dfrac{1}{2}|r\cos\theta+3|$ である． $r\cos\theta+3<0$ とすると，$2r=-(r\cos\theta+3)$ より $r(2+\cos\theta)=-3$ となるが，$r>0$，$2+\cos\theta>0$ より左辺は正であるから，矛盾する．よって，$r\cos\theta+3\geqq 0$ であるから \[ r=\frac{1}{2}(r\cos\theta+3) \quad\text{より}\quad r=\frac{3}{2-\cos\theta} \] (2) $2r=r\cos\theta+3$ より $2r=x+3$．両辺を 2 乗して $4(x^2+y^2)=(x+3)^2$，整理して $3x^2-6x+4y^2=9$ \[ 3(x-1)^2+4y^2=12 \quad\text{すなわち}\quad \frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \] （中心 $(1,\,0)$ の楕円で，$c=\sqrt{4-3}=1$ より焦点は $(0,\,0)$，$(2,\,0)$．確かに極が焦点になっている．）