極方程式を x, y の式に直す（B）

(1) 両辺に $r$ を掛けて $x^2+y^2=2y+2x$（$r=2\sin\theta+2\cos\theta$ は $\theta=\dfrac{3}{4}\pi$ のとき $r=0$ となり極を通るから，$r$ を掛けても表す図形は変わらない）．$(x-1)^2+(y-1)^2=2$ で，中心 $(1,\,1)$，半径 $\sqrt{2}$ の円 (2) $\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ より $r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta=1$，すなわち $x^2-y^2=1$．双曲線 (3) $2r-r\cos\theta=1$ より $2r=x+1$．両辺を 2 乗して $4(x^2+y^2)=(x+1)^2$，整理して \[ 3x^2-2x+4y^2=1 \] $x$ について平方完成すると $3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+4y^2=\dfrac{4}{3}$ となる． すなわち \[ \frac{\left(x-\frac{1}{3}\right)^2}{\frac{4}{9}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1 \] この楕円上の点は $-\dfrac{1}{3}\leqq x\leqq 1$ を満たすから $x+1>0$ であり，$2r=x+1$ が成り立つ． よって，楕円（中心 $\left(\dfrac{1}{3},\,0\right)$）