円・直線を極方程式で表す（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 円・直線を極方程式で表す（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の図形を極方程式で表せ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 中心が極座標で $\left(2,\,\dfrac{\pi}{2}\right)$，半径が $2$ の円
\item[(2)] 中心が極座標で $\left(2,\,\dfrac{\pi}{4}\right)$，半径が $2$ の円
\item[(3)] 直交座標で 2 点 $(4,\,0)$，$(0,\,4)$ を通る直線
\end{enumerate}
中心 $(a,\,\alpha)$，半径 $a$ の円は極を通り，直径の他端は $(2a,\,\alpha)$ であるから，円周角の定理より $r=2a\cos(\theta-\alpha)$ と表される．
(1) $r=4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)=4\sin\theta$
(2) $r=4\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)$
(3) 極からこの直線に下ろした垂線の足は，直交座標で $(2,\,2)$，極座標で $\left(2\sqrt{2},\,\dfrac{\pi}{4}\right)$ である．よって
\[ r\cos\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=2\sqrt{2} \]
（展開すると $\dfrac{r\cos\theta+r\sin\theta}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，すなわち $x+y=4$ に一致する．）
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