w=z+1/z で表される点が描く図形（A）

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ とすると $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}(\cos\theta-i\sin\theta)$ であるから，$w=x+yi$ として \[ x=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta,\qquad y=\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta \] $r>1$ より $r-\dfrac{1}{r}>0$ であるから，$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ より \[ \frac{x^2}{\left(r+\frac{1}{r}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(r-\frac{1}{r}\right)^2}=1 \] これは楕円であり，$\theta$ が 1 周すると点 $w$ も楕円全体を 1 周する． $r+\dfrac{1}{r}>r-\dfrac{1}{r}>0$ であるから，焦点は $x$ 軸上にあり，$c^2=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)^2-\left(r-\dfrac{1}{r}\right)^2=4$ より $c=2$．よって焦点は $(\pm 2,\,0)$ で，$r$ によらない． （例えば $r=3$ のとき，楕円 $\dfrac{x^2}{\frac{100}{9}}+\dfrac{y^2}{\frac{64}{9}}=1$ となる．）