式の値が実数・純虚数となる点 z 全体を図示する（A）

$w=z+\dfrac{1}{z}$ が実数となる条件は $\overline{w}=w$ である． \[ \overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}=z+\frac{1}{z} \] 両辺に $z\overline{z}$（$\neq 0$）を掛けて整理すると \[ z\overline{z}^2+z=z^2\overline{z}+\overline{z} \quad\text{より}\quad (z-\overline{z})-z\overline{z}(z-\overline{z})=0 \] すなわち \[ (z-\overline{z})(1-|z|^2)=0 \] よって $z=\overline{z}$ または $|z|=1$，すなわち「$z$ は $0$ でない実数」または「$|z|=1$」である． 求める図形は，原点を除く実軸と，原点を中心とする半径 $1$ の円を合わせたものである（下図）．