共役複素数を用いて絶対値の式を扱う（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 共役複素数を用いて絶対値の式を扱う（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $|z|=1$ のとき，$|z-1|^2+|z+1|^2=4$ であることを示せ．
\item[(2)] $|\alpha|=|\beta|=1$ のとき，$|\alpha+\beta|=|1+\overline{\alpha}\beta|$ であることを示せ．
\end{enumerate}
(1)
\[ |z-1|^2+|z+1|^2=(z-1)(\overline{z}-1)+(z+1)(\overline{z}+1)=2z\overline{z}+2=2|z|^2+2=4 \]
\hfill 終
（図形的には，点 $z$ が $-1$，$1$ を直径の両端とする円周上にあり，三平方の定理を表している．）
(2) $|\alpha|=1$ より
\[ |1+\overline{\alpha}\beta|=|\alpha|\,|1+\overline{\alpha}\beta|=|\alpha+\alpha\overline{\alpha}\beta|=|\alpha+|\alpha|^2\beta|=|\alpha+\beta| \]
\hfill 終
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