共役複素数を用いて絶対値の式を扱う（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 共役複素数を用いて絶対値の式を扱う（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
複素数 $\alpha$，$\beta$ が $|\alpha|=2$，$|\beta|=3$，$|\alpha-\beta|=\sqrt{7}$ を満たすとき，次の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta$
\item[(2)] $|\alpha+\beta|$
\item[(3)] $|2\alpha-\beta|$
\end{enumerate}
$|z|^2=z\overline{z}$ を用いる．
(1) $|\alpha-\beta|^2=(\alpha-\beta)(\overline{\alpha}-\overline{\beta})=|\alpha|^2-(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta)+|\beta|^2$ より
\[ 7=4-(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta)+9 \quad\text{よって}\quad \alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta=6 \]
(2) $|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta)+|\beta|^2=4+6+9=19$．$|\alpha+\beta|\geqq 0$ であるから $|\alpha+\beta|=\sqrt{19}$
(3) $|2\alpha-\beta|^2=4|\alpha|^2-2(\alpha\overline{\beta}+\overline{\alpha}\beta)+|\beta|^2=16-12+9=13$．$|2\alpha-\beta|\geqq 0$ であるから $|2\alpha-\beta|=\sqrt{13}$
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