共役複素数の性質と実数・純虚数の判定（B）

(1) $\alpha=a+bi$（$a$，$b$ は実数）とすると $\overline{\alpha}=a-bi$． $\overline{\alpha}=\alpha$ は $a-bi=a+bi$，すなわち $b=0$ と同値であり，これは $\alpha$ が実数であることと同値である． $\overline{\alpha}=-\alpha$ は $a-bi=-a-bi$，すなわち $a=0$ と同値である．よって，「$\overline{\alpha}=-\alpha$ かつ $\alpha\neq 0$」は「$a=0$ かつ $b\neq 0$」と同値であり，これは $\alpha$ が純虚数であることと同値である． (2) $|z|^2=z\overline{z}=1$ より $\dfrac{1}{z}=\overline{z}$．よって $w=z+\dfrac{1}{z}=z+\overline{z}$ とすると \[ \overline{w}=\overline{z}+z=w \] したがって $w$ は実数である． (3) $v=z-\dfrac{1}{z}=z-\overline{z}$ とすると $\overline{v}=\overline{z}-z=-v$．また，$|z|=1$ を満たす実数 $z$ は $\pm 1$ だけであり，$z\neq\pm 1$ であるから $z$ は実数でない．よって $z\neq\overline{z}$ であるから $v=z-\overline{z}\neq 0$．よって $v$ は純虚数である．