複素数平面上の点の和・差・実数倍（B）

(1) $\alpha+\beta=4+3i$．$\alpha$ と $\beta$ は原点を通る同一直線上にない（$3:1\neq 1:2$）から，4 点 $0$，$\alpha$，$\alpha+\beta$，$\beta$ は平行四辺形の頂点となる． さらに $|\alpha|=|\beta|$ かどうか調べると $|\alpha|=\sqrt{10}$，$|\beta|=\sqrt{5}$ で等しくないから，ひし形ではない． また，$|\alpha-\beta|^2=|2-i|^2=5$，$|\alpha|^2+|\beta|^2=15$ より $|\alpha|^2+|\beta|^2\neq|\alpha-\beta|^2$ であるから，原点における角は直角でなく，長方形でもない．よって，この四角形は（ひし形でも長方形でもない）平行四辺形である． (2) $\alpha+k\beta=(3+k)+(1+2k)i$．純虚数となるのは実部が $0$ で虚部が $0$ でないときであるから，$k=-3$（このとき $-5i$） (3) 点 $(3+k,\,1+2k)$ が $y=x$ 上にあるから $1+2k=3+k$，$k=2$（このとき $5+5i$）