ベクトルの式が表す球面（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: ベクトルの式が表す球面（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
空間の 2 点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ に対し，ベクトル方程式 $(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$ を満たす点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 点 $\mathrm{P}$ 全体はどのような図形か．
\item[(2)] $\mathrm{A}(1,\,2,\,3)$，$\mathrm{B}(3,\,0,\,-1)$ のとき，(1) の図形の方程式を $x$，$y$，$z$ で表せ．
\end{enumerate}
(1) 左辺を展開すると
\[ |\vec{p}|^2-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \]
これを変形すると
\[ \left|\vec{p}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^2=\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{4}-\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{|\vec{a}-\vec{b}|^2}{4} \]
よって $\left|\vec{p}-\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|=\dfrac{|\vec{a}-\vec{b}|}{2}$ であり，$\mathrm{P}$ 全体は線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする球面である．
（$\mathrm{P}\neq\mathrm{A},\mathrm{B}$ のとき $\angle\mathrm{APB}=90^\circ$ を表している．）
(2) 中心は $\mathrm{AB}$ の中点 $(2,\,1,\,1)$，半径は $\dfrac{1}{2}\sqrt{4+4+16}=\sqrt{6}$ であるから
\[ (x-2)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=6 \]
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