一般形の方程式を球面の形に直す（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 一般形の方程式を球面の形に直す（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 4 点 $\mathrm{O}(0,\,0,\,0)$，$\mathrm{A}(2,\,0,\,0)$，$\mathrm{B}(1,\,1,\,0)$，$\mathrm{C}(0,\,1,\,1)$ を通る球面の方程式を求め，その中心と半径を求めよ．
\item[(2)] 方程式 $x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z+k=0$ が球面を表すような定数 $k$ の値の範囲を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 求める球面の方程式を $x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$ とする．
$\mathrm{O}$ を通るから $d=0$．$\mathrm{A}$ を通るから $4+2a=0$ で $a=-2$．$\mathrm{B}$ を通るから $2+a+b=0$ で $b=0$．$\mathrm{C}$ を通るから $2+b+c=0$ で $c=-2$
よって $x^2+y^2+z^2-2x-2z=0$．変形して $(x-1)^2+y^2+(z-1)^2=2$ であるから，中心 $(1,\,0,\,1)$，半径 $\sqrt{2}$
(2) 平方完成すると
\[ (x+1)^2+(y-2)^2+(z+3)^2=14-k \]
これが球面を表すのは右辺が正のときであるから $k<14$
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