中心・半径・直径の両端から球面を求める（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 中心・半径・直径の両端から球面を求める（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の球面の方程式を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 中心が $(3,\,-2,\,1)$ で，$xy$ 平面に接する球面
\item[(2)] 中心が $(-1,\,2,\,4)$ で，$y$ 軸に接する球面
\item[(3)] 中心が $z$ 軸上にあり，2 点 $\mathrm{A}(1,\,2,\,1)$，$\mathrm{B}(2,\,1,\,3)$ を通る球面
\end{enumerate}
(1) 半径は中心と $xy$ 平面の距離で，$z$ 座標の絶対値 $1$ に等しい．$(x-3)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=1$
(2) 中心から $y$ 軸に下ろした垂線の足は $(0,\,2,\,0)$ であるから，半径は $\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}$．$(x+1)^2+(y-2)^2+(z-4)^2=17$
(3) 中心を $(0,\,0,\,c)$ とすると，中心から $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ までの距離が等しいから
\[ 1+4+(1-c)^2=4+1+(3-c)^2 \quad\text{より}\quad -2c+1=-6c+9,\ c=2 \]
半径の 2 乗は $1+4+(1-2)^2=6$．よって $x^2+y^2+(z-2)^2=6$
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