四面体の中の2直線の交点（A）

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\dfrac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}$，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$ である． $\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s)\vec{a}+s\cdot\frac{2\vec{b}+\vec{c}}{3}=(1-s)\vec{a}+\frac{2s}{3}\vec{b}+\frac{s}{3}\vec{c} \] $\mathrm{BP}:\mathrm{PE}=t:(1-t)$ とすると \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\vec{b}+t\cdot\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}=\frac{t}{2}\vec{a}+(1-t)\vec{b}+\frac{t}{2}\vec{c} \] 4 点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ は同じ平面上にないから，$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$ の係数を比較して \[ 1-s=\frac{t}{2},\qquad \frac{2s}{3}=1-t,\qquad \frac{s}{3}=\frac{t}{2} \] 第 1 式と第 3 式から $1-s=\dfrac{s}{3}$ で $s=\dfrac{3}{4}$，$t=\dfrac{1}{2}$（第 2 式も満たす）． よって $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\dfrac{1}{4}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}+\dfrac{1}{4}\vec{c}$