a+tb の大きさを最小にする t（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: a+tb の大きさを最小にする t（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$\vec{a}=(3,\,4)$，$\vec{b}=(2,\,-1)$ とする．$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{b}$（$t$ は実数）について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $|\vec{p}|$ の最小値と，そのときの $t$ の値を求めよ．
\item[(2)] (1) のとき，$\vec{p}$ と $\vec{b}$ は垂直であることを確かめよ．
\end{enumerate}
(1) $\vec{p}=(3+2t,\,4-t)$ であるから
\[ |\vec{p}|^2=(3+2t)^2+(4-t)^2=5t^2+4t+25=5\left(t+\frac{2}{5}\right)^2+\frac{121}{5} \]
よって $t=-\dfrac{2}{5}$ のとき $|\vec{p}|^2$ は最小値 $\dfrac{121}{5}$ をとる．$|\vec{p}|\geqq 0$ より，最小値は
\[ \sqrt{\frac{121}{5}}=\frac{11}{\sqrt{5}}=\frac{11\sqrt{5}}{5} \]
(2) $t=-\dfrac{2}{5}$ のとき $\vec{p}=\left(\dfrac{11}{5},\,\dfrac{22}{5}\right)$．
\[ \vec{p}\cdot\vec{b}=\frac{11}{5}\cdot 2+\frac{22}{5}\cdot(-1)=0 \]
であるから $\vec{p}\perp\vec{b}$ である．
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