接線・法線の条件から微分方程式をつくる（B）

$y'=0$ となる点では，法線は $x$ 軸に垂直になって N と H が一致し，$\mathrm{HN}=1$ を満たさないから，$y'\neq 0$ である．よって，$\mathrm{P}(x,\,y)$ における法線は $Y-y=-\dfrac{1}{y'}(X-x)$．$Y=0$ とすると $X=x+yy'$ よって N の $x$ 座標は $x+yy'$ で，$\mathrm{HN}=yy'=1$（N が H の右側） $\displaystyle\int y\,dy=\int dx$ より $\dfrac{y^2}{2}=x+C$（$C$ は任意の定数）．点 $(0,\,1)$ を通るから $C=\dfrac{1}{2}$ よって $y^2=2x+1$ で，$y>0$ より $f(x)=\sqrt{2x+1}$