接線・法線の条件から微分方程式をつくる（A）

$\mathrm{P}(x,\,y)$ における接線の傾きは $y'$ で，T は H から左へ 2 だけ離れているから，直角三角形 PTH において \[ y'=\frac{\mathrm{PH}}{\mathrm{TH}}=\frac{y}{2} \] （下図）．$y>0$ であるから，変数分離して $\displaystyle\int\frac{dy}{y}=\int\frac{1}{2}\,dx$ より $\log y=\dfrac{x}{2}+C$（$C$ は任意の定数） よって $y=Ae^{\frac{x}{2}}$（$A=e^C$） 点 $(0,\,1)$ を通るから $A=1$．よって $f(x)=e^{\frac{x}{2}}$