おき換えを利用して解く微分方程式（B）

$y=ux$ より $\dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx}$．方程式に代入して \[ u+x\frac{du}{dx}=1+u\quad\text{すなわち}\quad\frac{du}{dx}=\frac{1}{x} \] 両辺を $x$ で積分すると，$x>0$ であるから $u=\log x+C$（$C$ は任意の定数）．$x=1$ のとき $u=\dfrac{2}{1}=2$ より $C=2$ したがって $y=ux=x\log x+2x$ （確かめ：$y'=\log x+1+2=\log x+3$，$1+\dfrac{y}{x}=1+\log x+2$ で一致する．）