変数分離形の微分方程式（B）

(1) 定数関数 $y=0$ は方程式を満たすが，$x=0$ のとき $y=3$ を満たさない． $y\neq 0$ のとき $\displaystyle\int\frac{dy}{y}=\int(-2)\,dx$ より $\log|y|=-2x+C$（$C$ は任意の定数） よって $y=Ae^{-2x}$（$A=\pm e^C$） $x=0$ のとき $y=3$ より $A=3$．よって $y=3e^{-2x}$ (2) $\displaystyle\int y\,dy=\int x\,dx$ より $\dfrac{y^2}{2}=\dfrac{x^2}{2}+C$（$C$ は任意の定数） $x=0$ のとき $y=1$ より $C=\dfrac{1}{2}$．よって $y^2=x^2+1$ $y^2=x^2+1\geqq 1$ より $y$ は 0 にならず，$y$ は連続であるから，$y$ の符号は変わらない．$x=0$ で $y=1>0$ であるから $y=\sqrt{x^2+1}$