変数分離形の微分方程式（A）

変数分離形 $\dfrac{1}{g(y)}\dfrac{dy}{dx}=f(x)$ として両辺を $x$ で積分する． (1) 定数関数 $y=0$ は方程式を満たすが，$x=0$ のとき $y=1$ を満たさない． $y\neq 0$ のとき $\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=2x$ より $\displaystyle\int\frac{dy}{y}=\int 2x\,dx$ \[ \log|y|=x^2+C\quad\text{すなわち}\quad y=Ae^{x^2}\ (A=\pm e^C) \] ただし，$C$ は任意の定数である． $x=0$ のとき $y=1$ より $A=1$．よって $y=e^{x^2}$ (2) 定数関数 $y=0$ は方程式を満たすが，$x=0$ のとき $y=1$ を満たさない． $y\neq 0$ のとき $\dfrac{1}{y^2}\dfrac{dy}{dx}=1$ より $\displaystyle\int\frac{dy}{y^2}=\int dx$ よって $-\dfrac{1}{y}=x+C$（$C$ は任意の定数） $x=0$ のとき $y=1$ より $C=-1$．よって $-\dfrac{1}{y}=x-1$ すなわち $y=\dfrac{1}{1-x}$