和と定積分の大小から数列の収束を示す（B）

(1) $k$ を自然数とする．$k\leqq x\leqq k+1$ で $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{x}}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ であり，等号はつねには成り立たないから \[ \frac{1}{\sqrt{k+1}}<\int_k^{k+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}<\frac{1}{\sqrt{k}} \] 右側を $k=1,\,\cdots,\,n$ について加えて $T_n>\displaystyle\int_1^{n+1}\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{n+1}-2$ 左側を $k=1,\,\cdots,\,n-1$ について加えて $T_n-1<2\sqrt{n}-2$（$n=1$ では等号）．よって $T_n\leqq 2\sqrt{n}-1$ 各辺を $\sqrt{n}$ で割ると \[ 2\sqrt{1+\frac{1}{n}}-\frac{2}{\sqrt{n}}<\frac{T_n}{\sqrt{n}}\leqq 2-\frac{1}{\sqrt{n}} \] $n\to\infty$ のとき両端は $2$ に収束するから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{T_n}{\sqrt{n}}=2$ (2) $b_{n+1}-b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}-2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}-\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}$ より $\dfrac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$ であるから $b_{n+1}<b_n$ また (1) より $b_n>2\sqrt{n+1}-2-2\sqrt{n}>-2$ よって $\{b_n\}$ は下に有界な減少数列であるから収束する．