和と定積分の大小から数列の収束を示す（A）

(1) $k$ を自然数とする．$k\leqq x\leqq k+1$ で $\dfrac{1}{k+1}\leqq\dfrac{1}{x}\leqq\dfrac{1}{k}$ であり，等号はつねには成り立たないから \[ \frac{1}{k+1}<\int_k^{k+1}\frac{dx}{x}<\frac{1}{k} \] 右側を $k=1,\,\cdots,\,n$ について加えて $\log(n+1)<S_n$．左側を $k=1,\,\cdots,\,n-1$ について加えて $S_n-1<\log n$（$n=1$ では $S_1=1=1+\log 1$）．よって $\log(n+1)<S_n\leqq 1+\log n$ $n\geqq 2$ のとき各辺を $\log n>0$ で割ると \[ \frac{\log(n+1)}{\log n}<\frac{S_n}{\log n}\leqq\frac{1}{\log n}+1 \] $\dfrac{\log(n+1)}{\log n}=1+\dfrac{\log\left(1+\frac{1}{n}\right)}{\log n}\to 1$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{\log n}=1$ (2) $a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+1}-\{\log(n+1)-\log n\}=\dfrac{1}{n+1}-\displaystyle\int_n^{n+1}\frac{dx}{x}$ (1) で示した不等式 $\dfrac{1}{k+1}<\displaystyle\int_k^{k+1}\frac{dx}{x}$ で $k=n$ とすると $a_{n+1}-a_n<0$ よって $\{a_n\}$ は減少数列である．また (1) より $a_n=S_n-\log n>\log(n+1)-\log n>0$ (3) (2) より $\{a_n\}$ は下に有界な減少数列であるから収束する． （この極限値はオイラーの定数 $\gamma=0.5772\cdots$ と呼ばれる．）