等比数列の和を積分して無限級数の和を求める（B）

$n$ を自然数とする．初項 $1$，公比 $-x^2$ の等比数列の和の公式より \[ 1-x^2+x^4-\cdots+(-x^2)^{n-1}=\frac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2} \] 移項して \[ \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-2}+\frac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2} \] 両辺を $0$ から $1$ まで積分すると \[ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}\,dx \] 第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると $0\leqq x\leqq 1$ のとき $1+x^2\geqq 1$ より $0\leqq\dfrac{x^{2n}}{1+x^2}\leqq x^{2n}$ であるから \[ 0\leqq\left|\frac{\pi}{4}-S_n\right|=\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}\,dx\leqq\int_0^1x^{2n}\,dx=\frac{1}{2n+1} \] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=0$ であるから，はさみうちの原理により $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\pi}{4}-S_n\right|=0$ よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{\pi}{4}$ となり，求める和は $\dfrac{\pi}{4}$