等比数列の和を積分して無限級数の和を求める（A）

(1) 初項 $1$，公比 $-x$ の等比数列の和の公式より \[ 1-x+x^2-\cdots+(-x)^{n-1}=\frac{1-(-x)^n}{1+x}=\frac{1}{1+x}-\frac{(-1)^nx^n}{1+x} \] 移項して与式を得る． (2) (1) の両辺を $0$ から $1$ まで積分すると \[ \log 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}+(-1)^n\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx \] 第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると $0\leqq x\leqq 1$ のとき $1+x\geqq 1$ より $0\leqq\dfrac{x^n}{1+x}\leqq x^n$ であるから \[ 0\leqq|\log 2-S_n|=\int_0^1\frac{x^n}{1+x}\,dx\leqq\int_0^1x^n\,dx=\frac{1}{n+1} \] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0$ であるから，はさみうちの原理により $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|\log 2-S_n|=0$ よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\log 2$ となり，求める和は $\log 2$