コーシー・シュワルツの不等式（積分版）（B）

(1) 実数 $t$ に対して $\{tf(x)+g(x)\}^2\geqq 0$ であるから \[ t^2\int_a^b\{f(x)\}^2dx+2t\int_a^bf(x)g(x)\,dx+\int_a^b\{g(x)\}^2dx\geqq 0 \] これを $At^2+2Bt+C\geqq 0$ とおく． $\{f(x)\}^2\geqq 0$ であるから $A\geqq 0$ $A>0$ のときは，すべての $t$ で成り立つことから判別式 $\dfrac{D}{4}=B^2-AC\leqq 0$ $A=0$ のときは，$\{f(x)\}^2$ は連続で $\{f(x)\}^2\geqq 0$ であるから，$\{f(x)\}^2$ がつねには 0 でなければ $A>0$ となる．よって，$[a,\,b]$ でつねに $f(x)=0$ であるから $B=0$ で，$B^2\leqq AC$ は成り立つ． よって $B^2\leqq AC$ となり，示された． (2) (1) で $f(x)=\sqrt{h(x)}$，$g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{h(x)}}$，$a=0$，$b=1$ とすると，$f(x)g(x)=1$ であるから \[ \left(\int_0^11\,dx\right)^2\leqq\int_0^1h(x)\,dx\int_0^1\frac{dx}{h(x)} \] 左辺は $1$ であるから，示された．