コーシー・シュワルツの不等式（積分版）（A）

(1) $A=\displaystyle\int_a^b\{f(x)\}^2dx$，$B=\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx$，$C=\displaystyle\int_a^b\{g(x)\}^2dx$ とおくと，すべての実数 $t$ について \[ \int_a^b\{tf(x)+g(x)\}^2dx=At^2+2Bt+C\geqq 0 \] $\{f(x)\}^2\geqq 0$ であるから $A\geqq 0$ [1] $A>0$ のとき，$t$ の 2 次式がつねに $0$ 以上であるから，判別式について $\dfrac{D}{4}=B^2-AC\leqq 0$ すなわち $B^2\leqq AC$ [2] $A=0$ のとき，$\{f(x)\}^2$ は連続で $\{f(x)\}^2\geqq 0$ であるから，$\{f(x)\}^2$ がつねには 0 でなければ $A>0$ となる．よって，$[a,\,b]$ でつねに $f(x)=0$．よって $B=0$ となり，$B^2\leqq AC$ は成り立つ． いずれの場合も $B^2\leqq AC$ が成り立つ． (2) (1) で $f(x)=1$，$g(x)=\sqrt{1+x^2}$，$a=0$，$b=1$ とすると \[ \left(\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx\right)^2\leqq\int_0^11\,dx\int_0^1(1+x^2)\,dx=1\cdot\frac{4}{3}=\frac{4}{3} \] $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx>0$ であるから $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1+x^2}\,dx\leqq\frac{2}{\sqrt{3}}$