定積分を含む式の極限（B）

(1) $F(x)=\displaystyle\int_0^x\sqrt{4+\sin t}\,dt$ とおくと $F(0)=0$，$F'(x)=\sqrt{4+\sin x}$ であるから \[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^x\sqrt{4+\sin t}\,dt=\lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F'(0)=\sqrt{4+\sin 0}=2 \] (2) $G(x)=\displaystyle\int_0^x\log(1+2t^2)\,dt$ とおく． まず，$u\geqq 0$ のとき \[ u-\frac{u^2}{2}\leqq\log(1+u)\leqq u\quad\cdots\cdots ① \] が成り立つことを示す． $f(u)=u-\log(1+u)$ とおくと $f'(u)=1-\dfrac{1}{1+u}=\dfrac{u}{1+u}$ で，$u\geqq 0$ のとき $f'(u)\geqq 0$．よって $f(u)$ は増加し，$f(0)=0$ であるから，$u\geqq 0$ のとき $f(u)\geqq 0$． $g(u)=\log(1+u)-u+\dfrac{u^2}{2}$ とおくと $g'(u)=\dfrac{1}{1+u}-1+u=\dfrac{u^2}{1+u}$ で，$u\geqq 0$ のとき $g'(u)\geqq 0$．よって $g(u)$ は増加し，$g(0)=0$ であるから，$u\geqq 0$ のとき $g(u)\geqq 0$． ① で $u=2t^2\ (\geqq 0)$ とすると　$2t^2-2t^4\leqq\log(1+2t^2)\leqq 2t^2$（下図） [1]　$x>0$ のとき 各辺を $0$ から $x$ まで積分して \[ \frac{2}{3}x^3-\frac{2}{5}x^5\leqq G(x)\leqq\frac{2}{3}x^3 \] 各辺を $x^3\ (>0)$ で割って \[ \frac{2}{3}-\frac{2}{5}x^2\leqq\frac{G(x)}{x^3}\leqq\frac{2}{3} \] $\displaystyle\lim_{x\to +0}\left(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}x^2\right)=\frac{2}{3}$ であるから，はさみうちの原理により　$\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{G(x)}{x^3}=\frac{2}{3}$ [2]　$x<0$ のとき $t=-s$ とおくと $dt=-ds$ で，$t$ が $0$ から $x$ まで変わるとき $s$ は $0$ から $-x$ まで変わるから \[ G(x)=\int_0^{-x}\log(1+2s^2)\cdot(-1)\,ds=-G(-x) \] よって $\dfrac{G(x)}{x^3}=\dfrac{-G(-x)}{x^3}=\dfrac{G(-x)}{(-x)^3}$ で，$x\to -0$ のとき $-x\to +0$ であるから，[1] より　$\displaystyle\lim_{x\to -0}\frac{G(x)}{x^3}=\frac{2}{3}$ [1]，[2] より　$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\log(1+2t^2)\,dt=\frac{2}{3}$