定積分を含む式の極限（A）

(1) $F(x)=\displaystyle\int_0^xe^{t^2}\,dt$ とおくと $F(0)=0$，$F'(x)=e^{x^2}$ であるから \[ \lim_{x\to 0}\frac{1}{x}\int_0^xe^{t^2}\,dt=\lim_{x\to 0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=F'(0)=e^0=1 \] (2) $G(x)=\displaystyle\int_0^x\sin t^2\,dt$ とおく． まず，$u\geqq 0$ のとき \[ u-\frac{u^2}{2}\leqq\sin u\leqq u\quad\cdots\cdots ① \] が成り立つことを示す． $f(u)=u-\sin u$ とおくと $f'(u)=1-\cos u\geqq 0$ で，$f(0)=0$ であるから，$u\geqq 0$ のとき $f(u)\geqq 0$． $g(u)=\sin u-u+\dfrac{u^2}{2}$ とおくと $g'(u)=\cos u-1+u$，$g''(u)=1-\sin u\geqq 0$．よって $g'(u)$ は増加し，$g'(0)=0$ であるから，$u\geqq 0$ のとき $g'(u)\geqq 0$．ゆえに $g(u)$ は増加し，$g(0)=0$ であるから $g(u)\geqq 0$． ① で $u=t^2$ とすると　$t^2-\dfrac{t^4}{2}\leqq\sin t^2\leqq t^2$ [1]　$x>0$ のとき 各辺を $0$ から $x$ まで積分して \[ \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{10}\leqq G(x)\leqq\frac{x^3}{3} \] 各辺を $x^3\ (>0)$ で割って \[ \frac{1}{3}-\frac{x^2}{10}\leqq\frac{G(x)}{x^3}\leqq\frac{1}{3} \] $\displaystyle\lim_{x\to +0}\left(\frac{1}{3}-\frac{x^2}{10}\right)=\frac{1}{3}$ であるから，はさみうちの原理により　$\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{G(x)}{x^3}=\frac{1}{3}$ [2]　$x<0$ のとき $t=-s$ とおくと $dt=-ds$ で，$t$ が $0$ から $x$ まで変わるとき $s$ は $0$ から $-x$ まで変わるから \[ G(x)=-\int_0^{-x}\sin s^2\,ds=-G(-x) \] よって $\dfrac{G(x)}{x^3}=\dfrac{G(-x)}{(-x)^3}$ で，$x\to -0$ のとき $-x\to +0$ であるから，[1] より　$\displaystyle\lim_{x\to -0}\frac{G(x)}{x^3}=\frac{1}{3}$ [1]，[2] より　$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^3}\int_0^x\sin t^2\,dt=\frac{1}{3}$