積分の漸化式とはさみうちで数列の極限を求める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 積分の漸化式とはさみうちで数列の極限を求める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$I_n=\displaystyle\int_1^e(\log x)^n\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする．ただし，対数は自然対数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$ を示せ．
\item[(2)] $0\leqq I_n\leqq e-1$ を用いて，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=0$ を示せ．
\item[(3)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nI_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 部分積分法により
\[ I_{n+1}=\Bigl[x(\log x)^{n+1}\Bigr]_1^e-\int_1^ex\cdot(n+1)(\log x)^n\cdot\frac{1}{x}\,dx=e-(n+1)I_n \]
(2) $1\leqq x\leqq e$ で $0\leqq\log x\leqq 1$ より $0\leqq(\log x)^n\leqq 1$ であるから $0\leqq I_n\leqq e-1$
(1) より $(n+1)I_n=e-I_{n+1}\leqq e$ であるから $0\leqq I_n\leqq\dfrac{e}{n+1}$
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{e}{n+1}=0$ であるから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n=0$
(3) (1) より $nI_n=e-I_{n+1}-I_n$．(2) より $I_n\to 0$，$I_{n+1}\to 0$ であるから
\[ \lim_{n\to\infty}nI_n=e \]
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