積分の漸化式とはさみうちで数列の極限を求める（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/26
🔁 類題: 積分の漸化式とはさみうちで数列の極限を求める（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^nx\,dx\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $I_n+I_{n+2}=\dfrac{1}{n+1}$ および $I_{n+2}<I_n$ を示せ．
\item[(2)] $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nI_n$ を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $\tan^{n+2}x+\tan^nx=\tan^nx\cdot\dfrac{1}{\cos^2x}=\tan^nx(\tan x)'$ であるから
\[ I_n+I_{n+2}=\left[\frac{\tan^{n+1}x}{n+1}\right]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{n+1} \]
$0<x<\dfrac{\pi}{4}$ で $0<\tan x<1$ より $\tan^{n+2}x<\tan^nx$ であるから $I_{n+2}<I_n$
(2) $n\geqq 2$ とする．(1) より
\[ \frac{1}{n+1}=I_n+I_{n+2}<2I_n,\qquad \frac{1}{n-1}=I_{n-2}+I_n>2I_n \]
よって $\dfrac{n}{2(n+1)}<nI_n<\dfrac{n}{2(n-1)}$
両端は $n\to\infty$ のとき $\dfrac{1}{2}$ に収束するから，はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n\to\infty}nI_n=\frac{1}{2}$
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